麥克斯韋方程組用通俗方式解釋

在積分篇里，我們一直在跟電場、磁場的通量打交道。我們?nèi)我猱嬕粋�曲面，這個曲面可以是閉合的，也可以不是，然后我們讓電場線、磁感線穿過這些曲面，它們就兩兩結(jié)合形成了四個積分形式的方程組。從這里我們能感覺到：麥克斯韋方程組的積分形式是從宏觀角度來描述問題，這些曲面都是宏觀可見的東西。那么微分形式呢？微分形式似乎應(yīng)該從微觀角度去看問題，那么我們要怎樣把曲面、通量這些宏觀上的東西弄到微觀里來呢

一個很簡單的想法就是：我讓宏觀上的東西縮小縮小，直到縮小成一個點，這樣不就進入微觀了么？積分形式的麥克斯韋方程組需要選定一個曲面，但是它并沒有限定這個曲面的大小，我可以把這個曲面選得很大，也可以選得很小。當你把這個曲面選得很小很小的時候，麥克斯韋方程組的積分形式就自然變成了微分形式。所以，微分形式的基本思想還是很簡單的，它真正麻煩的地方是在于如何尋找一種方便的計算方式，這些我后面會細說。好，下面進入正題。麥克斯韋方程組總共有四個方程，分別描述了靜電（高斯電場定律）、靜磁（高斯磁場定律）、磁生電（法拉第定律）、電生磁（安培-麥克斯韋定律）。這四個方程各有積分和微分兩種形式，積分形式我們上篇已經(jīng)說過了，微分形式我們還是按照順序，也從靜電開始。
01微分形式的靜電在積分篇里，我們是這樣描述靜電的：在空間里任意畫一個閉合曲面，那么通過閉合曲面的電場線的數(shù)量（電通量）就跟這個曲面包含的電荷量成正比。用公式表述就是這樣：

這就是積分形式的高斯電場定律：左邊表示通過閉合曲面S的電通量（E是電場強度，我們把面積為S的閉合曲面分割成許多小塊，每一個小塊用da表示，那么通過每一個小塊面積的電通量就可以寫成E?da。套上一個積分符號就表示把所有小塊的電通量累加起來，這樣就得到了通過整個閉合曲面S的電通量），右邊那個帶了enc下標的Q就表示閉合曲面包含的電荷量，ε0是個常數(shù)。下面是重點：因為這個閉合曲面S是可以任何選取的，它可以大可以小，可以是球面也可以是各種亂七八糟的閉合曲面。那么我們就不妨來學(xué)習(xí)一下孫悟空，變小變小再變小，我讓這個閉合曲面也一直縮小縮小，縮小到無窮小，那么這時候高斯電場定律會變成什么樣呢？這里會涉及一丟丟極限的概念，我們這樣考慮：一個閉合曲面縮小到無窮小，其實就是它的表面積或者體積無限趨向于0。也就是說，我假設(shè)有一個球的體積為ΔV，然后讓這個ΔV無限趨近于0，那這樣就可以表示這個球縮小到無窮小了。用數(shù)學(xué)符號可以記成這樣：

Lim就是英文單詞極限（limit）的縮寫，ΔV通過一個箭頭指向0可以很形象的表示它無限趨近于0。有了這個極限的概念，我們就可以很自然的表示通過這個無窮小曲面的電通量了（直接在電通量的前面加個極限符號），這時候高斯電場定律就成了這樣：

這樣，我們就把高斯電場定律從宏觀拉到了微觀：方程的左邊表示曲面縮小到無窮小時的電通量，方程的右邊表示無窮小曲面包含的電荷量。但是，當曲面縮小到無窮小的時候，我們再使用電荷量Q就不合適了，所以我們改用電荷密度（符號為ρ）。電荷密度，從名字里我們就能猜出它表示的是單位體積內(nèi)包含電荷量的大小，所以它的表達式應(yīng)該是用電荷量除以體積，即：ρ=Q/V。所以，如果我們把微觀的高斯電場定律左右兩邊都同時除以體積ΔV，那么右邊的電荷量Q除以體積Δ就變成了電荷密度ρ，左邊我們也再除以一個ΔV，那么公式就變成了下面這樣：

公式的右邊除以一個體積ΔV，就成了電荷密度ρ除以真空介電常數(shù)ε0，那左邊呢？左邊原來是通過無窮小曲面的電通量，這玩意除以一個體積ΔV之后表示什么呢？這一長串的東西，我們給它取了個新名字：散度。也就是說，電場E在一個點（被無窮小曲面圍著的這個點）上的散度被定義為電場通過這個無窮小曲面的電通量除以體積。散度的英文單詞是pergence，所以我們通常就用p(E)表示電場E的散度，即：

所以，高斯電場定律的微分形式就可以表示成這樣：

它告訴我們：電場在某點的散度跟該點的電荷密度成正比。然后呢？然后微分篇的第一個方程就這樣說完了？這只不過把高斯電場定律積分形式的曲面縮小到了無窮小，然后兩邊同時除了一個體積，右邊湊出了一個電荷密度，左邊巴拉巴拉湊出一大堆東西你告訴我這個新東西叫散度就完事了？不帶這么玩的！那這個散度到底有什么物理意義？我要如何去計算具體的散度（你用無窮小通量去定義散度倒是好定義，但是這樣計算可就麻煩了）？還有，很多人多多少少知道一些麥克斯韋方程組的樣子，雖然不是很懂，那個倒三角符號?倒還是記得的，你這公式里為什么沒有?符號呢？
02初入江湖的?沒錯，我們用無窮小曲面的通量和體積的比值來定義散度，這樣定義是為了突出它跟通量之間的聯(lián)系，也方便大家從積分的思維自然的轉(zhuǎn)化到微分的思維中來。但是，這種定義在具體計算的時候是沒什么用的，我們不會通過去計算無窮小曲面的通量和體積的比值來計算一個點的散度，因為這樣實在是太麻煩了。我們有種更簡單的方式來計算電場在某個點的散度，而這種方法，就會使用到我們熟悉的倒三角?符號。在這種新的表示方法里，電場E的散度可以被寫成這樣：??E，所以我們就可以用這個東西替換掉方程左邊p(E)，那么麥克斯韋方程組的第一個方程??描述靜電的高斯電場定律的微分形式就可以寫成這樣：

這樣寫的話，是不是就感覺熟悉多了？也就是說，同樣是為了表示散度，我們用??E代替了代替了原來無窮小曲面通量和體積比值那么一大串的東西。而且這樣還非常好計算，使用這種新的方式，你只要給出一個電場，我分分鐘就可以把電場的散度寫出來。這種倒三角?符號，絕對是符號簡化史上的奇跡。所以，我接下來的工作，或者說理解麥克斯韋方程組的微分形式的核心內(nèi)容，就是要來告訴大家這個倒三角?符號到底是什么意思，??（后面加了一個點）又是什么意思？為什么??E可以表示電場E的散度就？為什么??E跟我們前面散度的定義p（E）是等價的？也就是說：

為什么上面的式子是相等的，而且都可以用來表示電場E的散度？這就是我在開篇說的：微分形式的基本思想還是很簡單的，它真正麻煩的地方在于如何尋找一種方便計算的方式，這種方便的計算方式自然就是?。那么我們接下來就先把電磁相關(guān)的物理內(nèi)容擱置一旁，先一起來看一看這個傳奇符號?的前世今生，理解了它，你就理解了麥克斯韋方程組的微分形式的精髓。
03從導(dǎo)數(shù)說起要理解?，我們還是得先再來看一看這個衡量事物變化快慢的概念：導(dǎo)數(shù)。說“再”是因為我們在積分篇里已經(jīng)講過了：法拉第發(fā)現(xiàn)了電磁感應(yīng)，發(fā)現(xiàn)變化的磁場能產(chǎn)生電場，而且磁場變化得越快，產(chǎn)生的電場越大。這里我們就需要這樣一個量來描述磁場變化的快慢，只不過當時我們沒有展開說。我還是借用上篇身高的例子來看看我們是如何描述變化的快慢的。一個人在十二三歲的時候一年可以長10厘米，我們說他這時候長得快；到了十七八歲的時候可能一年就只能長1厘米，我們就說他長得慢。也就是說，我們衡量一個量（這里就是身高，假設(shè)身高用y表示）變化快慢的方法是：給定一個變化的時間dt（比如一年，或者更�。�，看看這個量的變化Δy是多少，如果這個量的變化很大我們就說它變化得很快，反之則變化得慢。在這里，我稍微解釋一下Δy和dy的區(qū)別：如下圖所示，我們假設(shè)函數(shù)在x軸上有一個增量Δx，這個用Δx或者dx表示都一樣，兩者相等。但是，這個在x軸上的變化帶來的y軸上的變化就不一樣了：Δy表示的是y軸實際的變化量，是我用前后兩個不同的x對應(yīng)的y值直接相減得到的真實結(jié)果；而dy則不是，dy是我們在M點做了一條切線，然后我用這條直線來代替曲線，當x軸上變化了Δx的時候這條直線上對應(yīng)y上的變化。

從這個圖里我們可以看到：Δy的值是要比dy大一點點的，但是隨著Δx或者dx的減小，它們的之間的差值會急速減小，比Δx減小的快得多，這個差值也是我們常說的高階無窮小。Δy叫做函數(shù)從一點到另一點的增量，而dy則被叫做函數(shù)的微分，或者叫它的線性主部。“以直（dy）代曲(Δy)”是現(xiàn)代微積分的一個核心思想，從這個圖里可見一斑。

在微積分剛創(chuàng)立的時候，萊布尼茨把dx看作一個接近0但又不等于0的無窮小量，這種“樸素”的思維很符合直覺，而且用這種思想來計算也沒什么錯，但是它的基礎(chǔ)是非常不牢固的。正是這種幽靈般的無窮小量dx（時而可以看作是0，時而可以當除數(shù)約分）導(dǎo)致了第二次數(shù)學(xué)危機，數(shù)學(xué)家們經(jīng)過一個多世紀的搶救才給微積分找到了一個堅實的地基：極限理論。

（一）、麥克斯韋方程組公式及其物理意義

麥克斯韋方程組關(guān)于電磁波等的預(yù)言為實驗所證實，證明了位移電流假設(shè)和電磁場理論的正確性。這個電磁場理論對電磁學(xué)、光學(xué)、材料科學(xué)以及通訊、廣播、電視等等的發(fā)展都產(chǎn)生了廣泛而深遠的影響。它是物理學(xué)中繼牛頓力學(xué)之后的又一偉大成就。麥克斯韋方程組，是英國物理學(xué)家詹姆斯?克拉克?麥克斯韋在19世紀建立的一組描述電場、磁場與電荷密度、電流密度之間關(guān)系的偏微分方程。它由四個方程組成：描述電荷如何產(chǎn)生電場的高斯定律...查看更多