高中求最值的方法總結(jié)【薦讀】

方法一：利用單調(diào)性求最值

學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)以后，為討論函數(shù)的性質(zhì)開發(fā)了前所未有的前景，這不只局限于基本初等函數(shù)，凡是由幾個(gè)或多個(gè)基本初等函數(shù)加減乘除而得到的新函數(shù)都可以用導(dǎo)數(shù)作為工具討論函數(shù)單調(diào)性，這需要熟練掌握求導(dǎo)公式及求導(dǎo)法則，以及函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)符號(hào)之間的關(guān)系，還有利用導(dǎo)數(shù)如何求得函數(shù)的極值與最值。

例1已知函數(shù)，當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象總在直線y=a-e2的上方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

分析：此題屬于恒成立問題，恒成立問題大都轉(zhuǎn)化為最值問題。

解：原問題等價(jià)于f(x)>a-e2恒成立，即x2+ex-xex>a-e2在[-2，2]上恒成立，即x2+ex-xex+e2>a在[-2，2]上恒成立。

令g(x)=x2+ex-xex+e2>a-e2，x∈[-2，2]，原問題等價(jià)于a下面利用導(dǎo)數(shù)討論g(x)的最小值，求導(dǎo)可得g'(x)=x(1-ex)。

當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，g'(x)≤0，從而g(x)在[-2，0]上單調(diào)遞減;

當(dāng)x∈(0，2]時(shí)，g'(x)<0可知g(x)在(0，2]上也單調(diào)遞減。

所以g(x)在[-2，2]上單調(diào)遞減，從而g(x)min=g(2)=2即a∈(-∞，2)

評(píng)注：本題是求參數(shù)的取值范圍問題，利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想可化為不等式恒成立問題，進(jìn)而化為最值問題，再借助于導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性求出的最值。其實(shí)高中階段接觸到的最值問題大都可以運(yùn)用單調(diào)性法求得最值。

方法二：利用不等式求最值

掌握和靈活運(yùn)用，│a│+│b│≥│a±b│≥││a│-│b││這一類型的基本不等式，在求一些函數(shù)最值問題時(shí)通常十分便捷，在解題時(shí)務(wù)必注意考慮利用不等式求最值的條件限制。

例2若x∈R，且0分析：本題可以運(yùn)用單調(diào)性法求最值，但是較麻煩，下面介紹一種新的方法。

解：。

由0則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)。

故當(dāng)時(shí)，取得最小值9。

例3求使不等式│x-4│+│x-3│分析：此題若用討論法，可以求解，但過程較繁;用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)求解卻十分方便。

解：令f(x)=│x-4│+│x-3│原不等式有解，只需a>f(x)min，而f(x)=│x-4│+│x-3│≥│(x-4)-(x-3)│=1，當(dāng)且僅當(dāng)x∈[3，4]時(shí)，等號(hào)成立。

所以f(x)min=1，因此的a取值范圍是a∈[1，+∞]。

評(píng)注：例2表面上看本題不能使用基本不等式，但只要稍留心便能從兩個(gè)分母中發(fā)現(xiàn)“名堂”，一個(gè)分母是，另一個(gè)分母是，兩數(shù)之積正好為“1”，于是巧乘得“1”便可利用基本不等式。其實(shí)，即便不是“1”也可類似處理，只是式子前面要多乘一個(gè)系數(shù)。例4采用了絕對(duì)值三角不等式快捷的求出了參數(shù)的取值范圍。

方法三：數(shù)形結(jié)合法

將一些抽象的解析式賦予幾何意義，然后通過圖形的屬性及數(shù)量關(guān)系進(jìn)行“數(shù)”與“形”的信息轉(zhuǎn)換，把代數(shù)的問題等價(jià)性的用幾何的方法來求解，使之求解更簡單、快捷，也是解決最值問題的一種常用方法。

例4已知實(shí)數(shù)x、y滿足等式x2+y2-6x-6y+12=0，求的最值。

分析：如果把等式看成圓的一般式，那么就有點(diǎn)(x，y)在圓(x-3)2+(y-3)2=6上，那么表示該點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率.由于圓位于第一象限，若過原點(diǎn)作圓的兩切線OA、OB(A，B為切點(diǎn))，則的最值分別是直線OA、OB的斜率。

解：設(shè)，即y=kx，∴，

整理為k2-6k+1=0。解得。